La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinámicos a la que cabe considerar como la más importante de todas. Ello es debido a que, en la práctica, todo sistema debe ser estable. Si un sistema no es estable, normalmente carece de todo interés y utilidad.
El estudio de la estabilidad de los sistemas dinámicos ocupa un lugar primordial en el análisis y en la síntesis de los sistemas realimentados. De hecho, la síntesis de un sistema de control estaría presidida por un imperativo de estabilización del sistema realimentado que resulte.
Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana. Es de uso común decir: el franco suizo es estable, el peso mexicano es inestable, el estado de salud de fulano es estable, etc. Incluso, en muchas áreas del conocimiento, se maneja dicho concepto de manera intuitiva, es común oír a un ingeniero decir que una estructura es estable o no lo es, un químico dice que una reacción se ha estabilizado, un economista suele decir que el precio de determinado producto es estable, un físico diría que el movimiento de una partícula es estable , etc. Pero un concepto que aparece frecuentemente en todas las ciencias, merece ser definido en términos precisos.
No fue sino hasta 1892 cuando Lyapunov formuló de manera precisa el concepto de estabilidad. Y ese ha sido el punto de partida para establecer otras variantes de tan importante concepto (¡Y son bastantes!.) De hecho, no hay concepto en la Matemática que admita tantas acepciones distintas como el de estabilidad y por este motivo, cuando se habla de estabilidad, se debe aclarar a cual de ellas se refiere, para evitar ambigüedades.
A manera de ejemplo, consideremos el movimiento de una canica que se mueve bajo la acción de la gravedad sobre diferentes superficies como las mostradas en la figura 1.1. En los cuatro casos, la canica se encuentra en una posición de equilibrio, pero ¿cuál será el movimiento que ejecuta la canica si la sacamos “un poco” de su estado de equilibrio y la soltamos? En los casos (a) y (b) , la canica se mantendrá cerca de su posición de equilibrio oscilando alrededor de ésta, pero además, debido a la fricción, la canica tenderá a ocupar dicha posición de equilibrio. En ambos casos, el equilibrio se dice ser asintóticamente estable, la única diferencia que existe en estos dos casos, es que la “perturbación” que le hagamos a la canica para sacarla de su estado de equilibrio debe ser mucho menor para el caso (b) . Si ahora nos fijamos en la canica del inciso (c) , cualquier “perturbación” por pequeña que ésta sea, la canica se alejará de su posición de equilibrio; en este caso el equilibrio es inestable. Finalmente, en (d) , para cualquier “perturbación” pequeña de la canica, ésta permanecerá “cerca” de la posición de equilibrio pero no tenderá a acercarse a dicha posición de equilibrio y estaremos en presencia de estabilidad (no asintótica).
Figura 1.1: (a) y (b) Asintóticamente estables, (c) Inestable, (d) Estable (no asintóticamente).
i) Bρ es la bola de Rn con centro en el origen, es decir, Bρ = {x ∈ Rn : kxk < ρ, ρ > 0,con k•k la norma euclideana} (no se excluye el caso ρ = ∞.)
ii) f : Bρ → Rn, x 7−→ f (x) es una función de clase C1.
iii) f (0) = 0.
Consideremos la ecuación diferencial autónoma
d/df x (t) = f (x (t))
La cual por brevedad escribimos
x= f (x) (1.1)
En donde
x= dx /dt y omitimos la variable independiente t.
La condición (ii) garantiza la existencia y unicidad de las soluciones de (1.1), mientras que la condición (iii) implica que la función idénticamente cero es solución de (1.1) la cual llamaremos “el equilibrio” o “el origen”.
Sea x0 Bρ, la solución de (1.1)
que en t = 0 pasa por x0 la denotamos ϕ(t, x0) ,es decir, esta solución es tal que ϕ(0, x0) = x0.
DEFINICIONES
El equilibrio de 1.1 se dice ser (en el sentido de Lyapunov):
i) Estable. Si para cada ε > 0, ρ ≥ ε existe η (ε) > 0 tal que si llx0ll < η entonces llϕ(t, x0)ll < ε ∀ t ≥ 0.
ii) Atractivo. Si existe η > 0, ρ ≥ η tal que si llx0ll < η entonces lim llϕ(t, x0)ll = 0 cuando t→∞.
iii) Asintóticamente Estable. Si él
a) es estable
b) es atractivo
iv) Inestable. Si él no es estable.
Figura 1.3: Gráfica de la solución ϕ(t, x0) , n=2.
Las figuras (1.4)-(1.7) ilustran los cuatro conceptos para el caso n = 2.
Figura 1.4: Estabilidad del origen. Cualquier solución que en t = 0 comience en el cilindro de base de radio η no puede abandonar el cilindro de base con radio ε.
Figura 1.5: Atractividad del origen. Cualquier solución que en t = 0 comience en
el cilindro de base con radio η, eventualmente puede abandonarlo, pero ”finalmente” permanece dentro del mismo.
Figura 1.6: Estabilidad asintótica del origen
Figura 1.7: Inestabilidad del origen.
EJEMPLO: cuando (n=1)
Considérese la ecuación (1.6)
Sea la solución (1.7)
Hacemos el cambio de variable (1.8)
Derivando (1.8) y sustituyendo en (1.6) llegamos a (1.9)
De modo que el estudio de estabilidad de (1.7). Equivale al estudio de la estabilidad del origen de la ecuación (1.9)
OBSERVACION: en el ejemplo anterior hemos usado el siguiente resultado cuya prueba fue omitida.
La solución de (1.1) es estable y solo si la solución de (1.5) es estable. Los resultados análogos se obtienen para los tres conceptos restantes.
FUNCIONES DE LYAPUNOV
Decimos que una función de clase C1
W : Bρ → R, x 7−→ W(x) (1.16)
Es una función de Lyapunov para la ecuación (1.1), si existe σ ≤ ρ tal que sobre Bσ,W es definida positiva (negativa) y ˙W (la derivada euleriana) es semidefinida negativa (positiva).
METODO DIRECTO DE LYAPUNOV
TEOREMA 1. ESTABILIDAD
Si existe una función de Lyapunov para (1.1), entonces el origen es estable.
Demostración. Supongamos que la función de Lyapunov
Es definida positiva, el otro caso es análogo y lo omitimos. Sea ² > 0, ² < σ donde σes el de la definición de la sección anterior. Considérese la frontera de la bola B² la cual denotamos Fr (B²), como ésta es compacta y W es continua existe:
El cual es positivo, además, también por la continuidad de W, existe η > 0 tal que Bη ⊂ B² y W(x) < a ∀ x ∈ Bη.
Por lo tanto si, 
Entonces 
De lo contrario existe un 
0 tal que 
pero este ultimo quiere decir.
0 tal que pero este ultimo quiere decir.
Lo cual es contrario a la hipótesis, ya que ˙W ≤ 0 significa que W es decreciente con respecto a t. De modo que la solución no puede abandonar la bola.
TEOREMA 2. ESTABILIDAD ASINTOTICA.
Si existe una función fuerte de Lyapunov para (1.1), entonces el origen es asintóticamente estable.
Demostración: Como en el teorema anterior, supongamos que la función fuerte de Lyapunov:
Es definida positiva, el otro caso es similar y lo omitimos.
Por el teorema anterior, el origen es estable; resta probar entonces que el origen es atractivo. Como W˙ < 0, esto significa que W(t) es una función estrictamente decreciente y como por hipótesis W(t) está acotada por abajo por cero, se concluye que existe.
Demostremos que α = 0. Supongamos lo contrario, α > 0 y deduzcamos una
Contradicción. Escogemos un número positivo η < σ, donde σ es el que aparece en la definición de la sección anterior; con la propiedad de que.
puesto que ˙W es continua y definida negativa, ella tiene un máximo negativo −b sobre la cáscara compacta Bσ\Bη, de modo que se tiene:
E integrando de 0 a t esta desigualdad, se tiene:
Lo cual es una contradicción, ya que W es definida positiva, por lo tanto concluimos que α = 0.
Los dos teoremas de Lyapunov presentados en la sección anterior nos proporcionan condiciones suficientes para determinar estabilidad y estabilidad asintótica, y enfatizamos el hecho de que el método no requiere del conocimiento de una expresión analítica para las soluciones de (1.1), sino únicamente del campo vectorial f(x); de ahí que se le llamó método directo.
EJEMPLO
Ejemplo sistemas de gradientes sea:
Una función de clase C1 tal que tiene un máximo estricto en el origen. Considérese la ecuación:
La cual es evidentemente definida positiva en alguna bola B² del origen. Además, la derivada euleriana es en este caso:
De este modo, las condiciones del teorema 1.1 se cumplen, por lo tanto el origen es estable. Para visualizar este ejemplo, tomemos el caso particularmente simple, cuando la función H es la siguiente:
De modo que la ecuación diferencial resulta ser:
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